解答・解説[3](4)
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& \frac{7}{5}\left(\frac{2}{7}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{3}{7}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\\[2mm]
&=& \frac{2}{5}l\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{3}{5}l\overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
\end{eqnarray*}
\(点\mathrm Qは線分\text{BC}を3:2に内分する点である。\)
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& l\overrightarrow{\mathrm{AD}} とおくと、\\[2mm]
&=& \frac{2}{7}l\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{3}{7}l\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{eqnarray*}
\(\mathrm Qは\mathrm{BC}上の点より\)
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{7}l + \frac{3}{7}l &=& 1 \\[2mm]
\frac{5}{7}l &=& 1 \\[2mm]
l &=& \frac{7}{5} \\
\end{eqnarray*}
\(先ほど、\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = l\overrightarrow{\mathrm{AD}} とおいたから
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \dfrac{7}{5}\overrightarrow{\mathrm{AD}} \)
\begin{eqnarray*}
\mathrm{AQ:AD} &=& \frac{7}{5}:1 \\[2mm]
&=& 7:5 \\[4mm]
\mathrm{AD:DQ} &=& 5:2
\end{eqnarray*}
\(点\mathrm Dは線分\mathrm{AQ}を5:2に内分する点である。\)
\(また、\mathrm{BP:PC=1:3、BQ:QC=3:2}より\)
\(\mathrm{BP:PQ:QC=5:7:8} であるから \)
\begin{eqnarray*}
\Delta \mathrm{DPQ} &=& \frac{2}{7} \Delta \mathrm{APQ} \\[2mm]
&=&\frac{2}{7} ・ \frac{7}{20} \Delta \mathrm{ABC} \\[2mm]
&=& \frac{1}{10} \Delta \mathrm{ABC} \\[2mm]
&=& \frac{1}{10} ・ 3・7・\sin A・\frac{1}{2} \\[2mm]
&=& \frac{21}{20}・\sqrt{1-(\frac{1}{7})^2} \\[2mm]
&=& \frac{21}{20} ・ \frac{\sqrt{48}}{7} \\[2mm]
&=& \frac{3}{20}・4\sqrt{3} \\[2mm]
&=& \frac{3\sqrt{3}}{5}
\end{eqnarray*}
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